Departamento de Matemáticas

IES Ezequiel González (Segovia)

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Números primos

Definición

Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta.

 

teletubis primos

En caso contrario diremos que el número es compuesto.

El 0 y el 1 son números especiales que no se consideran ni primos ni compuestos.

Notas

bulletEl 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo tiene un divisor. Depende de las definiciones, del libro o de la "cultura" se considera o no primo. Por ejemplo, los antiguos griegos consideraban que los números empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la unidad.
bulletEl 2 también es el único número primo y par.

Los números primos han sido estudiados por muchos matemáticos desde los tiempos más remotos:

bullet Pitágoras natural de Samos (aproximadamente 569 a.C.) y sus alumnos, "los pitagóricos" consideraban que los números tenían virtudes mágicas y estudiaron los números perfectos y los números amigos.

Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (por2 números amigos ejemplo: 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14;...)

Dos números son amigos, cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro (por ejemplo 220 y 284: 220=1+2+4+7+71+142 y 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110)

bullet El matemático griego Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) demostró la existencia de infinitos números primos.(Aquí tienes los 168 primeros)
bullet Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.) ideó una forma de determinar los primeros números primos al construir la denominada Criba de Eratóstenes:

Consiste en construir una tabla con todos los números en columnas y a continuación, empezando por el 2 tachamos todos los números que estén a una distancia de 2 (el 4, 6, 8, etc.) después seguimos con el 3 tachando todos los números que estén a una distancia de 3 (el 6, 9, 12, etc) y así sucesivamente con 5, con 7, con 11,...Así se marcan todos los múltiplos quedando sin marcar los primos.

 

Sin embargo, los números primos parecen surgir al azar, sin guardar una regla concreta. La falta de patrón implica tener que buscar los número primos uno a uno.

 

Tras un periodo de tiempo en el que poco se sabe del estudio de estos números, en el siglo XVII:

bullet

Mersenne (1588-1648) estudió los números de la forma Mn = 2n - 1. Salvo si n es primo, estos números son compuestos. Estos números Mn, son llamados  números primos de Mersenne

No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto

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Fermat (1601-1665) demostró que los números primos de la forma 4n+1 se podían expresar como la suma de dos cuadrados:

4.1+1=5=22 + 12 ; 4.3+1=13=32 + 22 ;...

En los siglos siguientes Euler (1707-1783),Legrande (1752-1833), Gauss (1777-1855), Riemann(1826-1866)... y en la actualidad, se siguen buscando números primos.

 

Algunos problemas sin resolver, de momento, sobre números primos:

  1.   Existe un número infinito de números primos que se diferencian en 2 (tales como 3 y 5;  17 y 19)

  2. CONJETURA DE GOLDBACH :

Todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos. 

(Por ejemplo, 6=3+3; 18=11+7 ...)

  1.   Existe un número infinito de números primos que responden a la forma de un número al cuadrado más uno.      (Por ejemplo, 5=22+1, 17=42+1...)

 

  1. Siempre existe un número primo entre dos números cuadrados consecutivos. (Por ejemplo, entre 4 y 9 están el 5 y el 7; entre 9 y 16, están el 11 y el 13,...)

 

Pincha aquí par ver algunas curiosidades sobre los números primos que aparecen en el libro ¡Alucina con las Mates!

 

Eratóstenes de CireneEratóstenes nació en Cyrene (ahora Shahhat, en Libia) alrededor del año 276 a.C.

Entre otras cosas fue astrónomo, poeta y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a.C  se convirtió en el tercer director de la Biblioteca de Alejandría..

Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como "Criba de Eratóstenes".

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra:

Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. Erastótenes midió en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría.

Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra.

Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Erastótenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 46.250 km., cifra que excede a la medida real sólo en un 16%.

Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.

Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en el año 194 a.C. en Alejandría.