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Números primos
Definición
Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y
1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución
exacta.
En caso contrario diremos que el número es compuesto.
El 0 y el 1 son números especiales que no se consideran ni
primos ni compuestos.
Notas
 | El 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo
tiene un divisor. Depende de las definiciones, del libro o de la "cultura"
se considera o no primo. Por ejemplo, los antiguos griegos consideraban que
los números empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la
unidad. |
| El 2 también es el único número primo y par. |
Los números primos
han sido estudiados por muchos matemáticos desde los tiempos más remotos:
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Pitágoras natural de Samos
(aproximadamente 569 a.C.) y sus alumnos, "los pitagóricos" consideraban que
los números tenían virtudes mágicas y estudiaron los números perfectos y los
números amigos. |
Un número
es perfecto
si es igual a la suma de sus divisores propios (por
ejemplo: 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14;...)
Dos
números son
amigos,
cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro (por ejemplo 220
y 284: 220=1+2+4+7+71+142 y 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110)
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El matemático griego
Euclides (vivió alrededor del año
300 a. C.) demostró la existencia de infinitos números primos.(Aquí
tienes los 168 primeros) |
| Eratóstenes
de Cirene (276-194 a.C.) ideó una forma de determinar los primeros
números primos al construir la denominada Criba de Eratóstenes: |
Consiste en construir una
tabla con todos los números en columnas y a continuación, empezando por el 2
tachamos todos los números que estén a una distancia de 2 (el 4, 6, 8, etc.)
después seguimos con el 3 tachando todos los números que estén a una
distancia de 3 (el 6, 9, 12, etc) y así sucesivamente con 5, con 7, con
11,...Así se marcan todos los múltiplos quedando sin marcar los primos.
Sin embargo, los números primos parecen surgir al azar, sin guardar una
regla concreta. La falta de patrón implica tener que buscar los número
primos uno a uno.
Tras un periodo de tiempo
en el que poco se sabe del estudio de estos números, en el siglo XVII:
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Mersenne
(1588-1648) estudió los números de la
forma
Mn
= 2n - 1.
Salvo si n es primo,
estos números son compuestos.
Estos números
Mn,
son llamados
números
primos de Mersenne |
No
todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son
primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto
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Fermat (1601-1665) demostró que los números primos de la forma
4n+1 se
podían expresar como la suma de dos cuadrados: |
4.1+1=5=22
+ 12 ; 4.3+1=13=32 + 22
;...
En los siglos
siguientes Euler
(1707-1783),Legrande
(1752-1833), Gauss (1777-1855), Riemann(1826-1866)...
y en la actualidad, se siguen buscando números primos.
Algunos problemas
sin resolver, de momento, sobre números primos:
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Existe un número infinito de números primos que se diferencian en 2
(tales como 3 y 5; 17 y 19)
-
CONJETURA DE GOLDBACH
:
Todo número
par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números
primos.
(Por ejemplo,
6=3+3; 18=11+7 ...)
-
Existe un número infinito de números primos que responden a la forma
de un número al cuadrado más uno.
(Por ejemplo, 5=22+1,
17=42+1...)
-
Siempre existe un número primo
entre dos números cuadrados consecutivos.
(Por ejemplo, entre 4 y 9 están el 5 y el 7; entre 9 y 16, están
el 11 y el 13,...)
Pincha aquí par ver
algunas curiosidades sobre los
números primos que aparecen en el libro ¡Alucina con las Mates!
 Eratóstenes
nació en Cyrene (ahora Shahhat,
en Libia) alrededor del año 276 a.C.
Entre otras cosas fue astrónomo, poeta y matemático. Estudió en Alejandría y
Atenas. Alrededor del año 255 a.C se convirtió en el tercer director
de la Biblioteca de Alejandría..
Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método
para hallar números primos pequeños conocido como "Criba de Eratóstenes".
Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la
medición de la circunferencia de la Tierra:
Para ello ideó un
sistema a partir de la semejanza de triángulos. Erastótenes midió en
primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran
en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría.
Esto lo hizo a partir
del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra.
Después se dio cuenta
que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol
alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a
esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de
esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la
longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre
las ciudades. El resultado que obtuvo Erastótenes para el meridiano, en
medidas modernas, viene a ser 46.250 km., cifra que excede a la medida
real sólo en un 16%.
Eratóstenes también midió
la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un
error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675
estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.
Eratóstenes al final de su
vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en
el año 194 a.C. en Alejandría.
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